北京市第一六一中学 刘焕中
在这两年的听课中，我感到我校数学教师教学中，在知识、题型、规律层面下了很大功夫，有很多可取之处，可互相交流，取长补短；但在观念、思维、习惯层面功夫下得很少，这不但不利于学生长期发展，也成了学生短期发展的瓶颈。
高一理科实验班，给师生创设了一个在较高层次上教、学数学的平台，故写了“听数学课后的反思”对理科实验班的教学提供参考，不当之处请指正。
一、关于备课
（一）概念课怎样备
1.目标是实现三好：好理解，好记忆，好运用。
2.建议：
（1）挂：与学生头脑中已有知识联系，形成知识的线和网，而不是孤立的点。例如讲分数指数幂，可从指数为正整数出发，扩充到有理数、实数。指数数集扩充时，应考虑到：对底数的影响；类比正整数指数幂的运算法则，得出有理指数幂的运算法则。
好处：
①由陈到新，对新知识好理解；
②在知识网中定知识点，知识使用时好转化；
③知识网络清楚好记忆。
（2）化：把课本中的陈述性知识转化为解决问题的程序性知识。
例如：课本中的奇函数的定义可转化为：①定义域关于原点对称；② ， 此函数为奇函数。反之奇函数则具备以上两个条件。这样便于学生用概念来解题。
（3）挖：通过易错题挖掘概念的内涵。例如函数 与直线 的交点个数为至多一个。原因为函数是非空数集一对一或多对一的映射。
（4）记：
①用联系转化的线来记（网络记忆，一章一网，章与章之间搭桥）。
②用形来记。例如特殊函数可画出图形后想出性质。
③用语言转化来记，把课本的陈述性语言转化为解决问题的程序性语言。
（5）实：对概念与运算法则的牢固掌握是成功学习数学的两大基础，要让学生落实到位，且能熟中生巧。
（二）习题课怎样备
1.目标是规律、方法、经验、意识、习惯整体提高。
2.建议：
（1）教规律：通过题组或变式，让学生掌握这类题型的一般解题规律，通过类比相近题型解法，得出解相近题型的解法块。（鼓励学生学会变式，做到解一题则众题明）平时对重点知识的题型，多进行变式、组合，达到以活制活。
（2）教方法：
①综合题如何学会庖丁解牛，化综合为部分，关键是找到联结点进行分解。
②创新题：
如何阅读理解：用特殊来理解一般；用形来理解数；抓住关键词、关键点的位置；进行语言转化，转化为自己好理解的语言。
解创新题的主线是变中找不变，找到表示结论的关系式。
分析各类创新题的构成：知识、方法、思维。从中找出解这类题的思维方法规律。
在开放的，不确定中找确定，死中有活，活中有新，新中有死。
数学思想方法在什么情况下用？怎样用？注意什么？
（3）教解题经验
①解数学题的一般程序：
审题时——笔画法
目光随笔指引，看题速度快
题中表示数量关系的关键词，表示图形位置关系与大小关系的数量词，用笔要标出，让题目中的重要信息印象深刻。
随时写出由已知条件、推出的隐含条件。题目中隐含一切解题信息，由题中获得、记住的信息越多，则解题思路就越好找。
找解题思路时——双向推理法
由条件往结论，由结论往条件双向发散推理。由于缩短了条件与结论之间的思维距离，故能很快地找到解题思路，再根据解题过程是否简洁，来确定思路。
解题过程中——方向导引法
根据解题目标，确定解题方向。在书写解题过程时，要牢牢把握解题方向，在方向感的引导下，不断完善、简化解题过程。
解完题目后——深刻反思法
从题目中总结题型、解法、注意事项，放入头脑中已有的这类题目的解法网络中，并逐步形成系统的知识，为今后快速解决此类问题做准备。
②思路受阻：
写：用“写”来促思考。由条件往下，由结论往上，能写几步写几步，在写得过程中，由于缩短了条件、结论距离，思路也就出来了。
问：用问来促思考。
审题中条件发散是否不够？条件是否可以重复使用？是否遗漏细节？是否提高了结论的难度？
是否通解通法不全？是否要对通法进行新组合？
是否要突破思维定势？
是否没有考虑数学思想方法的应用？
③平时解题练出，会的题一遍做对的能力，考时检查发现有错不要轻易改，确定真错后再改。
（4）教解题意识：
①让题的条件与结论，告诉你更多解题信息的意识。
②根据解题过程是否简洁，选择解题思路的意识。
③否定的意识，只有不满足现在的解题思路，才能获得更好的解题思路。
④设台阶的意识，条件与结论转化距离较大时，可在联结点上设台阶，降低难度，缩短距离。
⑤ 大前提一样时，后问用前问结论的意识。
（5）教解题习惯：只有做人完善了，做事才能完美。
①养成平时“快、对”。考时“对、快”一遍做对的习惯。
②养成积累典型易错题与题型解法的习惯，可先写在题旁，再总结到本子上。
③养成用零散时间回忆、复习知识与题型解法结构的习惯，要求自己越回忆越快，最终在头脑中形成条件化的知识。
④ 养成解题一慢两快的习惯：审题慢，找思路，书写解题过程要快。
⑤ 养成研究考试题的习惯，提高把课本中20%的知识、方法准备充分，就能答好试卷中80%的题的能力。
⑥ 养成解题时“心要静、思维要活跃、神情要专注”的习惯。
⑦ 养成“见到熟题、易题要细心，见到新题、难题要兴奋” 以问促思的习惯。
⑧ 养成每天留点时间，让自己回忆所学知识的习惯，知识经过一个小时、一天、一周、一个月、三个月的重复，就能形成长期记忆，可先忆后看。
⑨ 养成平时用考试的状态来解题的习惯。
⑩ 养成每天反思的习惯，内容为：知识掌握不到位的地方，习惯、方法需要完善的地方。
养成整体时间训练能力，零散时间记忆规律的习惯。
上课养成“懂、用、悟、记”的习惯，充分提高课堂效率。
二、关于讲课
（一）一个中心
以思维活跃为中心，以提高思维能力与培养兴趣为目标。教学是成也思维、败也思维，不能提高学生思维能力的教学是无效的教学。在知识爆炸时代，我们不缺知识，缺的是对知识的兴趣，与掌握知识、运用知识的思想方法。方法离不开知识，但学习知识应上升到如何高效掌握知识，快速运用知识解决问题，这就需要思维能力。
教学中应注意培养如下思维能力：
1.记忆能力：
（1）表扬记忆法：别人或自己对记忆作正评价，即多表扬，能让大脑产生快乐素，提高记忆能力。学生应学会表扬或自我表扬。
（2）形象记忆法：与形象、情景、图象对应起来记，可开发右脑，记得快，记得牢。
（3）回忆记忆法：要记的东西先忆，忆不出来再看资料，这样能在脑海中加深印象。
（4）即时记忆法：刚学完就记，先记在笔记本上，再记在头脑中，这样可筛选，去掉次要的，保留主要的。
（5）重复记忆法：一小时、一天、一周、一个月、三个月进行重复记忆，可把瞬时记忆转化为长期记忆，形成条件化知识。解题速度快，能节省考试的时间。
（6）网络记忆法：记忆的规律是记得越多，记得越快。如果你把要记内容与它们之间联系形成一种网络，由于记忆内容之间由一可推出二，由二可推出三，则记忆时就能达到举一纲则万目张的效果。
所以平庸的人是点记忆，聪明的人是线记忆，智慧的人是网络记忆。
2.发散能力：教学中应提高学生由一点为中心，在平面或空间找到与此相关联的内容进行发散，发散的方向越多越好，发散的长度越远越好，发散的速度越快越好，提高学生的思维灵敏度与速度。
3.类比能力：
（1）相似（近）类比：题的条件、结论，解题的方法，数式的结构，若有相似之处，可通过题组或变式来找规律，概念的内容有相近之处也可类比找规律。
这里有两种相似：一种形似，神也似；一种形好像不似，但神似，都可通过类比找到统一规律。
（2）相对类比：根据哲学中的两极相通，可根据对立的内容找规律。例如由奇到偶，由近到远，有肯定到否定，由数到形，由一般到特殊，可以是知识，也可以是方法、思维。
类比的目的找到它们相通的规律，达到举一反三。
4.想象能力：教会学生把文字转化为图象或情景，并据此想象出新的图象或情景。创造往往是头脑中想象出来后，再在实践中制造出来的。想象是一种力量，经常做正面想象可以让你身体健康，人生快乐，事业有成。在学习中，用此方法可以在解常规题的基础上，通过想象，看还能解哪些创新题。学校要培养创新型人才，就应在教学中培养学生的想象力。
备课时应考虑记忆、发散、类比、想象，这些思维能力在讲课中什么时候用？怎样用？用后通过反思找到运用的规律。
（二）两个基本点
接受新观念，养成好习惯。
21世纪是观念大转变的时代，一个人的观念是这个人的人生的总开关。看待问题的观念新，解决问题的方法才能新，人生才能创造崭新的事业。观念与习惯，不但决定了学生的近期发展，而且决定了学生的长期发展。
教学中可给学生渗透如下学习观念：
1.进步的最好办法，是学会从你必须做好的事情中去获得乐趣。过程为：①认识到为了提高学习的效率，必须快乐去做；②假快乐，真表扬。学会自己表扬自己，奖励自己。让大脑中产生快乐素，学习记得清，用得活，获得成功，得到更大的表扬、鼓励，大脑中产生更多的快乐素，变成真快乐，获得兴趣与自信，得到更大的进步。在这里老师家长的宽容、扶持、鼓励、表扬是重要的因素。
2.找到自信的最好办法，在你认为比较弱的科目中，通过努力，获得较大提高。在建立对这学科学习自信的同时，建立对学习乃至将来工作、人生的自信。
3.学生在心目中应树立自己的榜样，通过榜样，找到差距，增进克服困难的勇气，给自己前进的动力。模仿榜样的态度、方法、习惯，让自己的学习效果也与榜样一样。学习榜样是可以复制的，复制的过程由形似到神似。
4.学习就是把自己培养成幸福的人，学会满意的对待过去，幸福的感受现在，乐观的面对未来。学习有两重目的：一是掌握知识、提高能力；二是如何让自己成为一个幸福的人。
5.学习是一门遗憾的艺术。只要每天寻找学习中的遗憾（知识、方法、习惯、观念）并不断完善，则在中、高考中就不会遗憾。
6.有两种坏习惯不能养成：一不养成什么习惯的习惯；二妨害他人的习惯。
数学教师在教学中应从知识、题型、规律、方法这个层面有所突破，进入观念、思维、习惯的层次。学生的观念、能力提高了，师生们期望的“分数”才可能有一个根本性的提高。教学中是“虚”的决定“实”的，教师在备课中能有意识的渗透这些做人的内容，讲课时能做到“润物细无声”，学生整体素质提高了，必然迎来学生学习能力与学习成绩的大提高。教师不能做一年教师，重复一辈子；而是做一辈子教师，天天都有追求，都有突破，都有引起自己美好回忆的地方。